Открытый урок теорема косинусов презентация. Теорема косинусов презентация к уроку по геометрии (9 класс) на тему

15.02.2022

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Теорема косинусов

Теорема 12.1 (Теорема косинусов) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = B a A C c b Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон b 2 + c 2 – 2bc cosA

AB 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон BC 2 + CA 2 cos Теорема косинусов (∆АВС – прямоугольный) A C B – 2 BC CA 90 0 C 0 AB 2 = BC 2 + CA 2 Теорему косинусов иногда называют обобщенной теоремой Пифагора.

XR 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон RO 2 + XO 2 cosO O X R – 2 RO XO RO 2 = RX 2 + XO 2 cosX – 2 RX XO XO 2 = RX 2 + RO 2 cosR – 2 RX RO

F D С Записать для данного треугольника теорему косинусов для каждой стороны.

Следствие из теоремы косинусов Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой. Знак «+» ставится, когда противолежащий угол тупой, знак « ̶ », когда он острый.

A C B Н Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон удвоенное произведение одной из этих сторон на проекцию другой.

На практике удобно сравнивать квадрат большей стороны и сумму квадратов двух других.

Определить вид треугольника со сторонами 5 , 6 ,7 см. > Определите вид треугольника со сторонами 2 , 3 , 4 см. > Устная работа

4 4 5 AB 2 = Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон на косинус угла между ними. минус удвоенное произведение этих сторон BC 2 + AC 2 cosC С А В – 2 BC AC 5 AB 2 = 41 – 40 3 2 AB = 41 – 20 3 2 2 5 30 0 30 0 2 ? 4 Найти АВ

4 С А В? Найти угол В 2 2 3

4 С А В? Найти угол В 2 2 3 = 30 0 60 0

6 0 0 5 5 3 3 3 5 В D 2 = АВ 2 + AD 2 cos – 2 АВ AD В D 2 = 34 – 30 1 2 В D 2 = 19 2 2 В D = 19 ? А 6 0 0 D A B C AB С D – параллелограмм. Найти В D . 6 0 0

Домашнее задание Стр. 161-162, п. 109; По рабочей тетради № 93, 95, 96, 98

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок - Решение задач по геометрии 9 кл. "Площадь треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов."

Решение задач предусматривает умение применять знания в стандартных условиях или при небольших отклонениях от них. Так же рассматриваются задачи, в которых требуется уметь применять знания в усложненн...

Целью урока является изучение теоремы косинусов и её следствий, формирование у учащихся навыков решения задач по данной те...

Урок устанавливает личностный контакт учителя с учащимися через формирование целей урока, их взаимное принятие и включение мотива на совместную работу. Положительная мотивация достиг...

Самостоятельная работа:

2 вариант:

1 вариант:

Проверь ответы:

2 вариант:

1 вариант:

Теорема косинусов:

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере

Насир ад-Дин Ат-Туси

Теорема синусов :

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

Замечание: Можно доказать, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности. Следовательно, для любого треугольника ABC со сторонами AB=c, BC=a, CA=b имеют место равенства
Где R – радиус описанной окружности.

1) Запишите теорему синусов для данного треугольника:

2) Запишите теорему косинусов для вычисления стороны МК:

Найдите угол В.

Найдите длину стороны ВС.

Найдите длину стороны АВ.

Найдите MN.

Запишите формулу для вычисления:

http://ppt4web.ru/geometrija/teoremy-sinusov-i-kosinusov0.html
http://nsportal.ru/shkola/geometriya/library/2014/10/15/teorema-sinusov-i-kosinusov
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/14/Johannes_Regiomontanus2.jpg/500px-Johannes_Regiomontanus2.jpg
http://img1.liveinternet.ru/images/attach/c/10/110/217/110217775_Nesreddi_tusi.jpg
http://www.biografguru.ru/about/evklid/?q=3117

Слайд 3

В 10 в. багдадский ученый Мухаммед из Буджана, известный под именем Абу-ль-Вефа сформулировал теорему синусов. Насир-эд-Дин из Туса (1201-1274) систематически рассмотрел все случаи решения косоугольных сферических треугольников и указал ряд новых способов решения. В 12 в. был переведен с арабского на латынь ряд астрономических работ, что позволило ознакомиться с ними европейцам. Но, к сожалению, многое осталось непереведенным, и выдающийся немецкий астроном и математик Иоганн Мюллер (1436 -1476), которого современники знали под именем Региомонтана (именно так переводится на латынь название его родного города Кенигсберга), через 200 лет после Насир-эд-Дина заново открыл его теоремы. Немного из истории

Слайд 4

ФРАНСУА ВИЕТ (1540 – 1603) Виет встал у истоков создания новой науки - тригонометрии. Многие тригонометрические формулы впервые были записаны Виетом. В 1593 году он первым сформулировал в словесной форме теорему косинусов. Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т. е. “дополнительный синус” (или иначе “синус дополнительной дуги”; cosa = sin(90° - a)).

Слайд 5

Современные обозначения синуса и косинуса знаками sinx и cos x были впервые введены в 1739 году И. Бернулли в письме к петербургскому математику Л. Эйлеру. Придя к выводу, что эти обозначения весьма удобны, он стал употреблять их в своих математических работах. Кроме того, Эйлер вводит следующие сокращенные обозначения тригонометрических функций угла x: tang x, cot x, sec x, cosec x.

Слайд 6

Сформулируйте теорему о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Запишите, чему равна площадь треугольника АВС А В С

Слайд 7

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов M F N А В С Запишите теорему синусов для треугольника MNF

Слайд 8

Запишите теорему синусов для треугольников:

Слайд 9

Замечание Отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности.

Слайд 10

Доказательство: Проведем диаметр. Рассмотрим,С - прямоугольный => ВС=× sin . Если т.лежит на дуге ВАС, то А1=А, если на дуге BDC, то A1= 180° - A. И в том, и в другом случае sin = sin A => BC= *sin A, BC= 2RsinA или Дано: R – радиус описанной окружности, ВС = a, - диаметр Доказать: (BC=2RsinA)

Слайд 11

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. M F N

Теоремы синусов и косинусов в задачах с практическим содержанием

верны ?

Задание 1

произведения этих сторон на sin угла между ними.

Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме

квадратов двух других сторон без

произведения этих сторон на cos угла между ними.

Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме

квадратов двух других сторон без удвоенного

произведения этих сторон на cos угла между ними.

В прямоугольном треугольнике

квадрат катета равен разности квадратов

гипотенузы и другого катета.

Какие из следующих утверждений верны ?

Задание 2

синусам противополежащих углов.

Стороны треугольника пропорциональны

косинусам противополежащих углов.

Стороны треугольника пропорциональны

синусам прилежащих углов.

Стороны треугольника пропорциональны

противополежащим углам.

Какие из следующих утверждений верны ?

Задание 3

площадь и периметр.

Решить треугольник – это значит измерить все

его элементы.

Решить треугольник – это значит найти его

неизвестные элементы по трем известным.

Решить треугольник – это значит найти ему

равный треугольник.

Не верно!

Установите соответствие?

Задание 4

А) теорема синусов

Б) формула Герона

В) теорема Пифагора

Г) теорема косинусов

Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии

8 шагов от столба, на котором висит фонарь.

Тень человека равна четырем шагам. На какой

высоте (в метрах) расположен фонарь?

Задание 5

8 шагов

4 шага

Подсказка (2)

Рассмотреть подобные треугольники

ΔАВС

ΔАКМ

Футбольный мяч находится у Ежика, который расположился на расстояниях 23 м и 24 м от стоек ворот. Ширина ворот 7 м. Найдите угол попадания мяча в ворота?

Задание 6

Задание 7

Алгоритм решения практических задач

Выполнить рисунок
Решить геометрическую задачу

Задание 7

Найти расстояние до недоступного предмета

Алгоритм нахождения расстояния до недоступного предмета

Наметить 2 точки, расстояние между которыми можно измерить
Выполнить измерение углов
Построить математическую модель (чертеж)
Решить геометрическую задачу, используя теорему синусов

Использую данные, приведенные на рисунке, найдите ширину АВ озера. В ответе укажите целое число метров

Решите сами 1 вариант Для определения ширины реки (AC) отметили 2 пункта С и В на расстоянии 50м друг от друга. Измерили углы АСВ и АВС, где А – это дерево, стоящее на другом берегу реки у кромки воды. (<АCВ=550, <АВС=650) 2 вариант Для определения ширины реки (AC) отметили 2 пункта В и С на расстоянии 40м друг от друга. Измерили углы АСВ и АВС, где А – это дерево, стоящее на другом берегу реки у кромки воды. (<АCВ=600, <АВС=700) Проверьте друг друга <А=1800-600-700= 50 0 AВ = 49 м

Подписи к слайдам:

Теорема синусов

Теорема 12.2 (теорема синусов) Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

C В A a sinA b sinB = = c sinC a b c Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

М O X MO sinX MX sinO = = OX sinC Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

C D E CD sinE EC sinD = = DE sinC Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Следствие из теоремы синусов где R – радиус окружности, описанной около ∆ АВС

Задача Найти радиус окружности, описанной около ∆ АВС, если АС = 2 см, АВС = 45° A С В 45 0 2 По следствию из теоремы синусов R = R = 2: (2 ·) R =

Тригонометрическая таблица № 1 № 2 № 3 № 4 № 5

AB sinC AC sinB = C A B 75 0 60 0 60 0 4 4 ? 45 0 45 0 Найти АВ Задача № 1 Таблица

AB sinC BC sinA = C A B 60 0 60 0 ? 2 3 3 2 Задача № 2 Таблица

2 AB sinC AC sinB = C A B ? 2 2 2 2 2 13 5 0 13 5 0 Найти угол А Задача № 3 Таблица

120 0 AC sinD AD sinC = AB С D – параллелограмм. Найти AC . D A B C 30 0 30 0 6 0 0 5 5 ? 120 0 30 0 Задача № 4 Таблица

45 0 2 45 0 BC sinA AB sinC = AB С D – параллелограмм. Найти BC . D A B C 30 0 30 0 2 ? 105 0 30 0 Задача № 5 Таблица

Домашнее задание Стр. 162-163, п.110; доказать теорему 12.2; по рабочей тетради № 99 – 104

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Интерактивный тест, который содержит 5 заданий с выбором одного верного ответа из четырех предложенных, с учетом времени, затраченного на прохождение теста; тест создан в программе PowerPoint-2007 с и...

Урок - Решение задач по геометрии 9 кл. "Площадь треугольника. Теорема синусов. Теорема косинусов."