Как вычислить высоту отдельных частей сегмента. Как вычислить площадь сегмента и площадь сегмента сферы. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

09.08.2021

Определение сегмента круга

Сегмент - это геометрическая фигура, которая получается путем отсечение части круга хордой.

Онлайн-калькулятор

Находится эта фигура между хордой и дугой круга.

Хорда

Это отрезок, лежащий внутри круга и соединяющий две произвольно выбранные точки на нем.

При отсечении части круга хордой можно рассмотреть две фигуры: это наш сегмент и равнобедренный треугольник, боковые стороны которого - радиусы круга.

Площадь сегмента можно найти как разность площадей сектора круга и этого равнобедренного треугольника.

Площадь сегмента можно найти несколькими способами. Остановимся на них более подробно.

Формула площади сегмента круга через радиус и длину дуги круга, высоту и основание треугольника

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a S=\frac{1}{2}\cdot R\cdot s-\frac{1}{2}\cdot h\cdot a S = 2 1 ⋅ R ⋅ s − 2 1 ⋅ h ⋅ a

R R R - радиус круга;
s s s - длина дуги;
h h h - высота равнобедренного треугольника;
a a a - длина основания этого треугольника.

Пример

Дан круг, его радиус, численно равный 5 (см.), высота, которая проведена к основанию треугольника, равная 2 (см.), длина дуги 10 (см.). Найти площадь сегмента круга.

Решение

R = 5 R=5 R = 5
h = 2 h=2 h = 2
s = 10 s=10 s = 1 0

Для вычисления площади нам не хватает только основания треугольника. Найдем его по формуле:

A = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2) = 8 a=2\cdot\sqrt{h\cdot(2\cdot R-h)}=2\cdot\sqrt{2\cdot(2\cdot 5-2)}=8 a = 2 ⋅ h ⋅ (2 ⋅ R − h ) = 2 ⋅ 2 ⋅ (2 ⋅ 5 − 2 ) = 8

Теперь можно вычислить площадь сегмента:

S = 1 2 ⋅ R ⋅ s − 1 2 ⋅ h ⋅ a = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 10 − 1 2 ⋅ 2 ⋅ 8 = 17 S=\frac{1}{2}\cdot R\cdot s-\frac{1}{2}\cdot h\cdot a=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 10-\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 8=17 S = 2 1 ⋅ R ⋅ s − 2 1 ⋅ h ⋅ a = 2 1 ⋅ 5 ⋅ 1 0 − 2 1 ⋅ 2 ⋅ 8 = 1 7 (см. кв.)

Ответ: 17 см. кв.

Формула площади сегмента круга по радиусу круга и центральном углу

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) S=\frac{R^2}{2}\cdot(\alpha-\sin(\alpha)) S = 2 R 2 ⋅ (α − sin (α ) )

R R R - радиус круга;
α \alpha α - центральный угол между двумя радиусами, стягивающий хорду, измеряющийся в радианах .

Пример

Найти площадь сегмента круга, если радиус круга равен 7 (см.), а центральный угол 30 градусов.

Решение

R = 7 R=7 R = 7
α = 3 0 ∘ \alpha=30^{\circ} α = 3 0 ∘

Переведем сначала угол в градусах в радианы. Поскольку π \pi π радиан равен 180 градусов, то:
3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ π 18 0 ∘ = π 6 30^{\circ}=30^{\circ}\cdot\frac{\pi}{180^{\circ}}=\frac{\pi}{6} 3 0 ∘ = 3 0 ∘ ⋅ 1 8 0 ∘ π = 6 π радиан. Тогда площадь сегмента:

S = R 2 2 ⋅ (α − sin ⁡ (α)) = 49 2 ⋅ (π 6 − sin ⁡ (π 6)) ≈ 0.57 S=\frac{R^2}{2}\cdot(\alpha-\sin(\alpha))=\frac{49}{2}\cdot\Big(\frac{\pi}{6}-\sin\Big(\frac{\pi}{6}\Big)\Big)\approx0.57 S = 2 R 2 ⋅ (α − sin (α ) ) = 2 4 9 ⋅ ( 6 π − sin ( 6 π ) ) ≈ 0 . 5 7 (см. кв.)

Ответ: 0.57 см. кв.

01.10.2018
На базе wi-fi модуля NodeMcu v3 с чипом ESP8266 (ESP-12e) можно сделать (для примера) термометр на цифровом датчике 18B20, информация об температуре при помощи GET запроса будет отправятся в базу данных MySQL. Следующий скетч позволяет отправлять GET запросы на указанную страницу, в моем случае это test.php. #include #include …
22.09.2014
Автоматический стационарный светорегулятор, управляемый фоторезистором R7, предназначен для эксплуатации в жестких условиях холодного и умеренно холодного климата при температуре окружающей среды от -25 до +45 °С, относительной влажности воздуха до 85 % при температуре +20 °С и атмосферном давлении в пределах 200…900 мм рт.ст. Светорегулятор применяют для регулирования освещенности индивидуального …
25.09.2014
Для избежания повреждения проводки во время ремонтных работ необходимо использовать прибор для обнаружения скрытой проводки. Прибор обнаруживает не только место скрытой проводки, но и место повреждения скрытой проводки. Прибор представляет собой усилитель звуковой частоты, в первом каскаде для повышения входного сопротивления используется полевой транзистор. Во втором каскаде ОУ. Датчик — …
03.10.2014
Предлагаемое устройство стабилизирует напряжение до 24В и током до 2А с защитой от замыкания. В случае неустойчивого запуска стабилизатора следует применить синхронизацию от автономного генератора импульсов рис. 2 . Схема стабилизатора показана на рис.1. На VT1 VT2 собран триггер Шмитта, который управляет мощным регулирующим транзистором VT3. Детали: VT3 снабжен теплоотводом …

Математическая величина площади известна со времен древней Греции. Еще в те далекие времена греки выяснили, что площадью является сплошная часть поверхности, которая ограничена со всех сторон замкнутым контуром. Это числовая величина, которая измеряется в квадратных единицах. Площадь является численной характеристикой как плоских геометрических фигур (планиметрических), так и поверхностей тел в пространстве (объемных).

В настоящее время она встречается не только в рамках школьной программы на уроках геометрии и математики, но и в астрономии, быту, в строительстве, в конструкторских разработках, в производстве и во многих других человека. Очень часто к вычислению площадей сегментов мы прибегаем на приусадебном участке при оформлении ландшафтной зоны или при ремонтных работах ультрасовременного дизайна помещения. Поэтому знания методов вычисления площади различных пригодятся всегда и везде.

Для вычисления площади кругового сегмента и сегмента сферы необходимо разобраться с геометрическими терминами, которые понадобятся при вычислительном процессе.

Прежде всего, сегментом круга называется фрагмент плоской фигуры круга, который расположен между дугой окружности и отсекающей ее хордой. Не стоит это понятие путать с фигурой сектора. Это совершенно разные вещи.

Хордой называется отрезок, который соединяет две точки, лежащие на окружности.

Центральный угол образуется между двумя отрезками - радиусами. Он измеряется в градусах дугой, на которую упирается.

Сегмент сферы образуется при отсекании какой-либо плоскостью части При этом основанием сферического сегмента получается круг, а высотой является перпендикуляр, исходящий от центра круга до пересечения с поверхностью сферы. Эта точка пересечения называется вершиной сегмента шара.

Для того, чтобы определить площадь сегмента сферы, нужно знать отсеченного круга и высоту шарового сегмента. Произведение этих двух составляющих и будет являться площадью сегмента сферы: S=2πRh, где h - высота сегмента, 2πR - длина окружности, а R - радиус большого круга.

Для того, чтобы вычислить площадь сегмента круга, можно прибегнуть к следующим формулам:

1. Чтобы найти площадь сегмента самым простым способом, необходимо вычислить разность между площадью сектора, в который вписан сегмент, и у которого основание является хордой сегмента: S1=S2-S3, где S1 - площадь сегмента, S2 - площадь сектора и S3 - площадь треугольника.

Можно воспользоваться приближенной формулой вычисления площади кругового сегмента: S=2/3*(a*h), где a - основание треугольника или h - высота сегмента, которая является результатом разности между радиусом круга и

2. Площадь сегмента, отличающегося от полукруга, подсчитывается следующим образом: S = (π R2:360)*α ± S3, где π R2 - площадь круга, α - градусная мера центрального угла, которая содержит дугу сегмента круга, S3 - площадь треугольника, который образовался между двумя радиусами круга и хордой, владеющего углом в центральной точке круга и двумя вершинами в местах соприкосновения радиусов с окружностью.

Если угол α < 180 градусов, используется знак минус, если α > 180 градусов, применяется знак плюс.

3. Вычислить площадь сегмента можно и другими методами при помощи тригонометрии. Как правило, за основу берется треугольник. Если центральный угол измеряется в градусах, тогда приемлема следующая формула: S= R2 * (π*(α/180) - sin α)/2, где R2 - квадрат радиуса круга, α - градусная мера центрального угла.

4. Чтобы рассчитать площадь сегмента с помощью тригонометрических функций, можно воспользоваться и другой формулой при условии, что центральный угол измеряется в радианах: S= R2 * (α - sin α)/2, где R2 - квадрат радиуса круга, α - градусная мера центрального угла.

Круг, его части, их размеры и соотношения — вещи, с которыми ювелир постоянно сталкивается. Кольца, браслеты, касты, трубки, шары, спирали — много всего круглого приходится делать. Как же всё это посчитать, особенно если тебе посчастливилось в школе прогулять уроки геометрии?..

Давайте сначала рассмотрим, какие у круга бывают части и как они называются.

Окружность — линия, ограничивающая круг.
Дуга — часть окружности.
Радиус — отрезок, соединяющий центр круга с какой-либо точкой окружности.
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности.
Сегмент — часть круга, ограниченная хордой и дугой.
Сектор — часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой.

Интересующие нас величины и их обозначения:

Теперь посмотрим, какие задачи, связанные с частями круга, приходится решать.

Найти длину развертки какой-либо части кольца (браслета). Задан диаметр и хорда (вариант: диаметр и центральный угол), найти длину дуги.
Есть рисунок на плоскости, надо узнать его размер в проекции после сгибания в дугу. Заданы длина дуги и диаметр, найти длину хорды.
Узнать высоту детали, полученной сгибанием плоской заготовки в дугу. Варианты исходных данных: длина дуги и диаметр, длина дуги и хорда; найти высоту сегмента.

Жизнь подскажет и другие примеры, а эти я привел только для того, чтобы показать необходимость задания каких-нибудь двух параметров для нахождения всех остальных. Вот этим мы и займемся. А именно, возьмем пять параметров сегмента: D, L, X, φ и H. Затем, выбирая из них все возможные пары, будем считать их исходными данными и путем мозгового штурма находить все остальные.

Чтобы зря не грузить читателя, подробных решений я приводить не буду, а приведу лишь результаты в виде формул (те случаи, где нет формального решения, я оговорю по ходу дела).

И еще одно замечание: о единицах измерения. Все величины, кроме центрального угла, измеряются в одних и тех же абстрактных единицах. Это значит, что если, к примеру, вы задаёте одну величину в миллиметрах, то другую не надо задавать в сантиметрах, а результирующие значения будут измеряться в тех же миллиметрах (а площади — в квадратных миллиметрах). То же самое можно сказать и про дюймы, футы и морские мили.

И только центральный угол во всех случаях измеряется в градусах и ни в чём другом. Потому что, как показывает практика, люди, проектирующие что-нибудь круглое, не склонны измерять углы в радианах. Фраза «угол пи на четыре» многих ставит в тупик, тогда как «угол сорок пять градусов» — понятна всем, так как это всего на пять градусов выше нормы. Однако, во всех формулах будет присутствовать в качестве промежуточной величины еще один угол — α. По смыслу это половина центрального угла, измеренная в радианах, но в этот смысл можно спокойно не вникать.

1. Даны диаметр D и длина дуги L

; длина хорды ;
высота сегмента ; центральный угол .

2. Даны диаметр D и длина хорды X

; длина дуги ;
высота сегмента ; центральный угол .

Поскольку хорда делит круг на два сегмента, у этой задачи не одно, а два решения. Чтобы получить второе, нужно в приведенных выше формулах заменить угол α на угол .

3. Даны диаметр D и центральный угол φ

; длина дуги ;
длина хорды ; высота сегмента .

4. Даны диаметр D и высота сегмента H

; длина дуги ;
длина хорды ; центральный угол .

6. Даны длина дуги L и центральный угол φ

; диаметр ;
длина хорды ; высота сегмента .

8. Даны длина хорды X и центральный угол φ

; длина дуги ;
диаметр ; высота сегмента .

9. Даны длина хорды X и высота сегмента H

; длина дуги ;
диаметр ; центральный угол .

10. Даны центральный угол φ и высота сегмента H

; диаметр ;
длина дуги ; длина хорды .

Внимательный читатель не мог не заметить, что я пропустил два варианта:

5. Даны длина дуги L и длина хорды X

7. Даны длина дуги L и высота сегмента H

Это как раз те два неприятных случая, когда у задачи нет решения, которое можно было бы записать в виде формулы. А задача-то не такая уж редкая. Например, у вас есть плоская заготовка длины L, и вы хотите согнуть ее так, чтобы ее длина стала X (или высота стала H). Какого диаметра взять оправку (ригель)?

Задача эта сводится к решению уравнений:
; — в варианте 5
; — в варианте 7
и хоть они и не решаются аналитически, зато легко решаются программным способом. И я даже знаю, где взять такую программу: на этом самом сайте, под именем . Всё то, что я тут длинно рассказываю, она делает за микросекунды.

Для полноты картины добавим к результатам наших вычислений длину окружности и три значения площадей — круга, сектора и сегмента. (Площади нам очень помогут при вычислении массы всяких круглых и полукруглых деталей, но об этом — в отдельной статье.) Все эти величины вычисляются по одним и тем же формулам:

длина окружности ;
площадь круга ;
площадь сектора ;
площадь сегмента ;

И в заключение еще раз напомню о существовании абсолютно бесплатной программы, которая выполняет все перечисленные вычисления, освобождая вас от необходимости вспоминать, что такое арктангенс и где его искать.

Изначально это выглядит так:

Рисунок 463.1 . а) имеющаяся дуга, б) определение длины хорды сегмента и высоты.

Таким образом, когда имеется дуга, мы можем соединить ее концы и получим хорду длиной L. Посредине хорды мы можем провести линию, перпендикулярную хорде и таким образом получим высоту сегмента H. Теперь, зная длину хорды и высоту сегмента, мы можем сначала определить центральный угол α, т.е. угол между радиусами, проведенными из начала и конца сегмента (на рисунке 463.1 не показаны), а затем и радиус окружности.

Решение подобной задачи достаточно подробно рассматривалось в статье "Расчет арочной перемычки ", поэтому здесь лишь приведу основные формулы:

tg(a /4) = 2Н/L (278.1.2)

а /4 = arctg(2H/L )

R = H /(1 - cos(a /2)) (278.1.3)

Как видим, с точки зрения математики никаких проблем с определением радиуса окружности нет. Данный метод позволяет определить значение радиуса дуги с любой возможной точностью. Это главное достоинство данного метода.

А теперь поговорим о недостатках.

Проблема данного метода даже не в том, что требуется помнить формулы из школьного курса геометрии, успешно забытые много лет назад - для того, чтобы напомнить формулы - есть интернет. А вот калькулятор с функцией arctg, arcsin и проч. есть далеко не у каждого пользователя. И хотя эту проблему также успешно позволяет решить интернет, но при этом не следует забывать, что мы решаем достаточно прикладную задачу. Т.е. далеко не всегда нужно определить радиус окружности с точностью до 0.0001 мм, точность 1 мм может быть вполне приемлема.

Кроме того, для того, чтобы найти центр окружности, нужно продлить высоту сегмента и отложить на этой прямой расстояние, равное радиусу. Так как на практике мы имеем дело с не идеальными измерительными приборами, к этому следует прибавить возможную погрешность при разметке, то получается, что чем меньше высота сегмента по отношению к длине хорды, тем больше может набежать погрешность при определении центра дуги.

Опять же не следует забывать о том, что мы рассматриваем не идеальный случай, т.е. это мы так сходу назвали кривую дугой. В действительности это может быть кривая, описываемая достаточно сложной математической зависимостью. А потому найденный таким образом радиус и центр окружности могут и не совпадать с фактическим центром.

В связи с этим я хочу предложить еще один способ определения радиуса окружности, которым сам часто пользуюсь, потому что этим способом определить радиус окружности намного быстрее и проще, хотя точность при этом значительно меньше.

Второй метод определения радиуса дуги (метод последовательных приближений)

Итак продолжим рассмотрение имеющейся ситуации.

Так как нам все равно необходимо найти центр окружности, то для начала мы из точек, соответствующих началу и концу дуги, проведем как минимум две дуги произвольного радиуса. Через пересечение этих дуг будет проходить прямая, на которой и находится центр искомой окружности.

Теперь нужно соединить пересечение дуг с серединой хорды. Впрочем, если мы из указанных точек проведем не по одной дуге, а по две, то данная прямая будет проходить через пересечение этих дуг и тогда искать середину хорды вовсе не обязательно.

Если расстояние от пересечения дуг до начала или конца рассматриваемой дуги больше, чем расстояние от пересечения дуг до точки, соответствующей высоте сегмента, то значит центр рассматриваемой дуги находится ниже на прямой, проведенной через пересечение дуг и середину хорды. Если меньше - то искомый центр дуги выше на прямой.

Исходя из этого на прямой принимается следующая точка, предположительно соответствующая центру дуги, и от нее производятся те же измерения. Затем принимается следующая точка и измерения повторяются. С каждой новой точкой разница измерений будет все меньше.

Вот собственно и все. Не смотря на столь пространное и мудреное описание, для определения радиуса дуги таким способом с точностью до 1 мм достаточно 1-2 минут.

Теоретически это выглядит примерно так: